什么叫双曲线的实轴和虚轴？双曲线有实轴和虚轴吗？

什么叫双曲线的实轴和虚轴？

双曲线的实轴和虚轴分别是：X轴为实轴，y轴为虚轴。

两顶点之间的线段称为双曲线的实轴，实轴长的一半称为半实轴，实轴的长度为2a（a为标准方程中的参数）。在标准方程中令x=0，得y=-b，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1（0，b）和B2（0，-b），以B1B2为虚轴。

把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于|F1F2|）的轨迹称为双曲线；平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线。

双曲线有实轴和虚轴吗？

实轴

两顶点之间的距离称为双曲线的实轴，实轴长的一半称为实半轴。

虚轴

在标准方程中令x=0，得y2=-b2，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b)，以B1B2为虚轴。

A1（-a，0），A2（a，0）。同时AA'叫做双曲线的实轴且│A1A2│=2a。

B1（0，-b），B2（0，b）。同时BB'叫做双曲线的虚轴且│B1B2│=2b。

F1（-c，0）或（0，-c），F2（c，0）或（0，c）。F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c

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双曲线的基本知识点总结

双曲线的基本知识点总结有定义、方程的求法、位置关系、数量关系和渐近线等。

1、双曲线定义：

双曲线为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。双曲线的几何性质分两大类。

双曲线标准方程的求法和它的简单几何性质

1. 双曲线的定义及其标准方程平面内到两定点 的距离的差的绝对值为常数（大于0且小于 ）的动点的轨迹叫双曲线。即 （0<2 < ）焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时： (注：双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置)的关系： （符合勾股定理的结构）, , 最大， 可以 F1F2O A1A2B2xMB12.椭圆的简单几何性质以 为例 ⑴范围： ⑵对称性：以坐标轴为对称轴，原点为对称中心⑶顶点坐标： 长轴：线段 长为2 ， 叫做长半轴长 短轴：线段 长为2 ， 叫做短半轴长⑷离心率： 探究：类比椭圆几何性质的研究，你认为应研究双曲线的哪些性质？应如何研究这些性质？（二）新课讲解利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质以焦点坐标在 轴上的标准方程为例， 1．范围由标准方程 可得 ，即 ，当 时， 才有实数值，这说明双曲线在不等式 与 所表示的区域内；对于 的任何值， 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 2.对称性：类比研究椭圆对称性的研究方法，容易得到，双曲线关于 轴、 轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.2．顶点讲解：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程 中，令 得 ，故它与 轴有两个交点 ，且 轴为双曲线 的对称轴，所以 为其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段 叫做双曲线 的实轴，它的长是2 .在方程 中令 得 ，这个方程没有实数根，说明双曲线和 轴没有交点。但 轴上的两个特殊点 ，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段 叫做双曲线的虚轴，它的长是 ，要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆 顶点： 实轴：线段 长为2 ， 叫做半实轴长 虚轴：线段 长为2 ， 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，这是两者的又一差异4．渐近线过双曲线 的两顶点 ，作 轴的平行线 ，经过 作 轴的平行线 ，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是 （或 ）.从几何画板上观察，当双曲线上的动点 随着其横坐标 的增大，点 到直线 的距离不断变小.又因当双曲线在第一象限时，即 时，双曲线可转化为 ，这也意味着双曲线的函数图像永远在 的图像的下方.这两方面说明了直线和双曲线在随着 的增大而无限靠近，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线，这是圆锥曲线中双曲线所特有的几何性质.5.离心率 双曲线的实轴长2 和焦距2 的比值 称为离心率 ，又因 ，所以 探究：类比椭圆的离心率，它的大小反应了椭圆的扁平程度，那么双曲线的离心率又可以客观的反应双曲线的什么几何性质呢？借助几何画板，通过改变 或 的大小，观察离心率改变的同时双曲线的开口是如何改变的.直观感到，离心率变大，双曲线的开口变大，反之，变小.下从理论角度给出说明.是双曲线的一条渐近线的斜率，当斜率变大，从图形上看，双曲线的开口在变大，反之，开口在变小，这一方法，结合图像，更容易理解离心率和双曲线开口的关系.等轴双曲线即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线 结合图形说明： 时，双曲线方程变成 (或 ，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角,其离心率等与 y A2 B1 o B2 x A1 探究：学完焦点在 轴上的双曲线的几何性质，你能用这些性质较准确的画出双曲线的草图吗？请画出焦点在 轴上的双曲线的草图，并写出它的几何性质方程为 1. 范围: 2. 对称性：以坐标轴为对称轴，原点为对称中心3. 顶点： 实轴：线段 长为2 ， 叫做半实轴长 虚轴：线段 长为2 ， 叫做虚半轴长4. 渐进线：方程为 5. 离心率： （三）例题讲解例1.写出双曲线方程 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程 （分析：此方程不是双曲线的标准方程，应先将方程转化成标准形式） 解：因为双曲线方程为 ，所以 实轴长为10，虚轴长为14，顶点坐标为（0，-5），（0，5），离心率 ，渐近线方程为 （注意渐近线方程的表达,渐近线方程还可有下求法：以双曲线的焦点在 轴上为例，方程 ，将方程中的1改成0即可求得，因为，即方程 ）总结归纳：共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为 ，那么此双曲线方程就一定是： 或写成 .当 时，双曲线的焦点在 轴上，当 时，双曲线的焦点在 轴上.例2.已知双曲线的渐近线方程为 ，求双曲线的离心率（分析：双曲线的焦点在哪个轴上未告知， 还是 = 不知，应分类讨论）解：若 ，则 ，因此离心率为 若 ，则 ，因此离心率为 （或 ）例3.求以 为渐近线，且过点 （1,2）的双曲线标准方程方法1（分析：双曲线焦点不确定，可分情况讨论）解：若双曲线的焦点在 轴上，设方程为 ，渐近线方程为，所以令 ，则方程为 ，点 （1,2）代入方程，得到 ，舍去 若双曲线的焦点在 轴上，，设方程为 ，渐近线方程为，所以令 ，则方程为 ，点 （1,2）代入方程，得到 ，因此双曲线的标准方程为 方法2：（由共渐近线的双曲线方程可避免讨论）不妨设 ，点 （1,2）代入方程， 因此双曲线的标准方程为 (四)小结：1.本堂课的主要内容为双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线方程、离心率是双曲线的几何性质，渐近线是双曲线特有的几何性质；2.会求双曲线的相关几何性质，并用渐近线辅助较准确的画出双曲线的草图；3. 双曲线 的渐近线方程是 ，双曲线 的渐近线方程是 ，如果已知一双曲线的渐近线方程为 ，那么此双曲线方程就可以设 .当 时，双曲线的焦点在 轴上，当 时，双曲线的焦点在 轴上.（五）课后作业： 双曲线的简单几何性质1（六）板书设计以焦点坐标在 轴上的标准方程为例， 1．范围： 与 2. 对称性： 以坐标轴为对称轴，原点为对称中心3.顶点： 实轴：线段 长为2 ， 叫做半实轴长 虚轴：线段 长为2 ， 叫做虚半轴长4.渐近线方程： 5. 离心率： 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率等与 课后反思：

求等边双曲线y=1/x在点(1/2，2)处的切线方程和法线方程?

如题

y'=-1/x^2

x=1/2,y'=-4

切线方程是

y-2=-4(x-1/2)

法线方程是，法线方程的斜率为与法线垂直直线斜率的负倒数

y-2=1/4(x-1/2)